以不变应万变,寻找小学比例问题当中的

为什么要找不变量？举个例子，你说你吃了早饭吃了一碗，我说我吃了5碗，谁吃得多？我吗？瞎说，没有统一的度量单位，你凭什么说我吃得比你多？也许你家的一碗饭装十斤米呢，我家的一碗装一两米呢。所以没有统一度量的比较就是胡说八道。

所以，以后不要再用你吃几碗我吃几碗来比较谁吃得多了。这一点上我们还是要感谢秦始皇他老人家，人家老秦统一度量衡：车同轨，书同文，行同伦。如果当时老秦再努把力，把全世界都征服了，现在世界的人都说汉语，现在的孩子那还用得着这么费劲的学那鸟语？扯得有点远，回来继续我们的数学问题。在比较两个量的时候，一定要单位一样，要不然根本没有意义。比如，你拿越南盾跟我换1元人民币，我肯定是不干的（自行百度搜素人民币兑换越南盾）。所以在比例问题当中，当你说，甲有几份比乙的几份的时候，实际上已经默认甲的1份和乙的1份是完全一样多的。因此，当我们俩人比较谁吃得多的时候，是一定要换算成完全大小相同的碗，才能比较。因此，只要是比较，就要统一度量单位。具体到比例应用题中，作为比的前后项，一定要保证前项的每一份和后项的每一份对应的量完全一致。

长方体的体积

一、存在明显的不变量。

由于存在明显的不变量，因此这一类问题是比例问题当中最简单的一类问题。

例题1有一长方体，长与宽的比为2：1，宽与高的比为3：2。这个长方体的全部棱长之和为cm，求这个长方体的体积？

解析：非常明显的此题目中，第一个比值长：宽=2：1中和宽：高=3：2的宽都是相同的。只不过，在第一个比值中将宽分为了1份，第二比值中将宽分为了3份。既然都是宽为什么不统一成相同的份数呢？因此长：宽=2：1=6：3，这样变化后就和宽：高=3：2中的宽变成了相同的份数。相应的，可以得到长：宽：高=6：3：2。根据长方体棱长的相关知识，我们知道长方体的长宽高各有4条。因此，÷4=55（cm），即为长+宽+高=55cm。根据前面我们得到的比例长：宽：高=6：3：2，在55cm中，长占了6份，宽占了3份，高占了2份。这样就可以求出来一份的长度：55÷（6+3+2）=5cm。有了一份的长度，那么对应的长宽高也就容易得出：长为30cm，宽为15cm，高为10cm。长方体的体积也就显而易见了：30×15×10=cm^3。

工厂工人数量变化

二、存在不变量但是不够明显。

此类问题内在的含有“不变量”，但是如上一类问题那么明显，需要自己去找出来。比如下面这个问题：

例题2甲乙两厂人数的比是7∶6。从甲厂调人到乙厂后，甲乙两厂人数比为2∶3，甲乙两厂原有多少人？

解析：仔细阅读题目，我们会发现：甲厂的人数发生了变化（减少了人），乙场的人数也发生了变化（增加了人），因此实际上两个量都发生了变化，也即意味着比值的前后项对应的量都发生了变化。有没有没有发生变化的量呢？当然有，仔细去寻找：甲厂的人被调到乙厂，尽管甲厂和乙厂人数都变化了，但是甲乙两厂的总和没有发生变化。

这样也就意味着：7：6当中前项加后项，7+6=13；2：3中的前项加后项，2+3=5；对应着相同的量。因此将其化为同样的分数。7：6=35：30，2：3=26：39。显然，我们这样变化之后，甲乙两厂调人之前的比例为：35：30，调走人后的比例为26：39。验证会发现：35+30=26+39。调人前后，甲乙两厂人数和没有变化，比例当中的份数也没有变化。这样，我们只需要观察甲厂的变化即可，调人前，甲厂占35份，调人走后还有26份。因此，人对应了（35-26）份。一份为：÷（35-26）=40人。最后按照调人前的甲乙两厂的比例35：30计算人数：甲厂：40×35=人；乙厂：40×30=人。

书

我们经常见到的有“单量不变”比如例题1；“和不变”比如例题2，“差不变”的情况和不变非常类似，我们不再单独举例。接下啦我们介绍一个创造不变量的例题。

三、没有不变量，自己创造不变量。

例题3甲乙二人原有的书数量比为6：5，后来甲又买了本，乙买了30本；这时候二人的书数量比变为了18：11，求最初二人的书的总数量。

解析：通过分析，我们发现无论是单量，两个量的和或者差都是变化的。因此需要我么自己创造出不变量。第一步，甲乙书的数量最初为6：5，我们假设后来甲和乙按比例增加书的数量。即甲增加本，乙增加本，主要是为了保持：=6：5这个比例。这样的话增加之后甲乙二人的书数量比还是为6：5。第二步，由于我们认为的将乙的书的数量多增加了本，所以再减去本，即保持和原题目增加30本一致。这时候，甲乙二人书数量比为18：11。从第一步中的6：5到第二步中的18：11，甲的数量没有发生变化，只有乙的数量发生了变化。至此，我们找到了不变量：甲没有变化。

自然界中不变是相对，变化是必然的

因此将甲的前后份数变为一致的：6：5=18：15，18：11=18：11。由第一步到第二步这个过程，甲的数量没有变化，相应的份数我们也保持不变都为18份。只有乙的数量减少了本，而乙的份数相应的减少（15-11）份。因此，本对应（15-11）份，则一份为30本。第一步甲增加本，乙增加本后：30×（18+15）=（本），减去增加的数量，二人最初的书的总数量为：--=（本）。

好好学习

四、比例问题可以转化成为分数问题。

我们还以上面的例题3作为参考，介绍比例问题转换为分数应用题的方法。

上面讨论的第一步还是必不可少的，即假设甲增加本，乙增加本。这时候，甲乙二人书数量比值没有变化还是6：5。即这时书的总数量看作（6+5）份，其中甲占了6份，乙占了5份。所以，甲的书是全部书的6/11，乙的书是全部书的5/11。而第二步，乙的书减少了本后，甲乙二人书数量比变为了18：11，即甲占18/29，乙占11/29。同样利用甲的书前后没有变化可以求出，减少本后的书是原来的多少：6/11÷（18/29）=29/33，即减少本后书的数量占为减少前的29/33。这样意味着减少的本占为减少前的（1-29/33）。可以求出为减少前的书数量为：÷（1-29/33）=（本）。此结果和前面我们用比例发算出的结果完全一致，余下解答也都一样，再次不在赘述。

希望

一般情况下，比例问题完全可以转化为分数问题。但是即使这样，仍旧需要找到“不变量”。再大多数情况下，比例方法解比转换为分数解法更简单。

通过这样的几个典型例题，希望能够起到抛砖引玉的作用。大家如有不同见解，欢迎留言讨论。

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